PARTE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO: ALGEBRA II (Guía para universidades latinoamericanas hispanohablantes).

En esta parte veremos temas de álgebra un poco más complicados que la anterior parte.

• Valor absoluto

El valor absoluto en matemáticas es tan sencillo que solo tienes que recordar dos puntos:

1.- Se representa con el siguiente signo |a| ejemplos:
|3|, |-4|, |8|.

2.- El valor absoluto en matemáticas es un numero sin signo esto significa que cuando veas un numero encerrado en el signo ya dicho arriba sea el numero positivo (+) o negativo (-) este lo cambiaras por un numero sin signo ejemplos:

|3|=3 (un numero sin signo dentro del valor absoluto como |3| es tomado con signo positivo entonces |3|=|+3|)
|-4|=4
|8|=8

No creo necesario poner algún ejercicio para este tema solo aprendiéndote los dos puntos de arriba con eso es suficiente.

• Exponentes enteros y racionales y ecuaciones con radicales

Los exponentes en álgebra son y serán siempre importantes ya que toda ecuación de cualquier grado y numero de variantes que tenga se usan siempre.

En la parte de aritmética venia una parte donde explicaba las reglas de exponentes  y raíces. Bueno en la parte de exponentes enteros y racionales te servirá, si aún no te aprendiste esas reglas te recomiendo volver porque sin ellas no podrás entender este otro tema.

Un exponente entero es cuando tenemos un numero elevado por cualquier numero natural y fracción ejemplos:

3^4
5^1/2

El numero racionales no solo significa que son números en fracciones ya que como comento arriba son tomados como números enteros. Entonces los racionales son esos números que tienen un numero determinado de decimales, o bien si lo quieres ver de otra forma es un numero que tiene un fin para que me entiendas mejor pondré un ejemplo:
1/4 es un numero racional ya que si lo pasas a enteros y decimales te queda como 0.25 ahora si este no fuera racional y fuera irracional sería como el numero 1/3 que al pasarlo a enteros y decimales te quedaría 0.33333333... y continuar sin nunca terminar, es por ello que dije que el número racional es un número que tiene un fin.

Ahora que conocemos bien lo que es cada número te explicare que hacer con Cada uno de ese tipo de exponente

Cuando tenemos un exponente en forma de fracción racional ejemplo 25^1/2 podemos pasar este exponente como una raíz de índice dos √ 25 y reducir el numero que queramos haciéndole su raíz cuadrada en este ejemplo quedaría 5.
Ejemplo:
27^1/3= 3√27= 3 (perdonen que parezca que estoy multiplicando la raíz por tres pero es el indice de esta). 

Cuando tenemos un exponente negativo sea entero o facción 5^-1/4 para eliminar el menos del exponente tendremos que hacer el numero,  que se está elevando no el exponente, en fracción que en el ejemplo quedaría así 5/1^-1/4 y luego intercambiar las posiciones de este número en fracción, es decir, intercambiar el numerador por el denominador y el denominador por el numerador, el ejemplo quedaría de esta manera 1/5^1/4 y con ello podríamos si queremos o no lo piden en el examen pasarlo como una raíz de índice 4 

Más ejemplos:

5^-3 = 1/5^3                            1/2^-4/3 = 2/1^4/3                                      5/8^-7/2 = 8/5^7/2

Ahora bien si ya entendiste los números racionales debes saber que en exponentes y raíces hay números que no se cambian a enteros y decimales por ser irracionales, por ejemplo en cualquier ejercicio de matemáticas cuando ves un numero en fracción como el irracional que yo te puse arriba 1/3 siempre es mejor dejarlo de esta manera que como 0.33333333 ya que es más exacto el número en fracción que el entero y con decimales. Ahora como hay fracciones irracionales hay raíces irracionales y exponentes irracionales, en un exponente irracional lo que puedes hacer, si te lo dan en forma de enteros y decimales, es cambiarlo por un número en forma de fracción y con eso hacer la regla de pasarlo a raíz con índice que se te indique en el exponente. En la raíces de cualquier índice que no se obtenga un numero entero al realizarla se recomienda dejarla en forma de raíz ya que el número que saques en entero y decimales puede que sea irracional, así que si tienes un numero decimal en tu raíz mejor déjalo así de esta manera evitas resultados erróneos. Esto no es necesario saberlo para el examen pero es algo que te es muy útil.
Ejercicios de exponentes enteros y ejercicios de exponentes y raíces racionales .

• Variación directa y variación inversa

De todos los temas de esta parte de  álgebra, éste es la más importante ya que el examen por lo general tiene como 5 preguntas en cada sección de este tema.

La variación directa se puede realizar por medio de la regla de tres o en forma de razón. Yo utilizo siempre la regla de tres que es más fácil que poner la variación tal y como te la explican muchas fuentes de matemáticas. 

En general, la variación directa se dice que es una relación entre una situación o objeto que al relacionarse con otro este influye de forma proporcional, de tal manera que si disminuye uno el otro también lo hará y si aumenta uno, el otro lo hará. Otra forma de entender esto de variación directa es compararla con la linea recta de una ecuación, ya que cuando es una variación directa, esto significa que la linea ira aumentando en Y o imágenes como X o abscisas.

Te dejo la representación para que entiendas mejor:

Esta imagen representan una posibilidad de variación directa ya que las coordenadas de X y Y van aumentando proporcionalmente.

Creo que con un ejemplo se entiende mejor:

Juan fue a comprar 3 kilos de huevo en 12 dólares ¿En cuanto le saldrá 5 kilos de huevo?

Esto es una variación directa ya que cuando los kilos aumentan el costo también aumentan(si este disminuyera sería una variación inversa).Usamos la regla de tres:
3 kg / 5 kg =  $12 / $X

Entonces despejamos y nos queda  lo siguiente:

X = (5 kg * $12) / 3kg

Y obtenemos 20 dólares. Recuerda que la regla de tres se pone los datos principales que aquí sería los kilos de huevo dividiéndose y luego pones el signo igual y de nuevo los datos secundario que sería el precio de cada uno directamente como fueron puesto anteriormente. Como nosotros buscamos el precio de 5 kilos de huevo puse una x para saber que es el dato que busco después despejamos y realizamos las operaciones.

Bueno la variación indirecta es cuando dos cuestiones o objetos relacionados muestran una relación de contradicción. O bien en forma de linea recta sería que las imágenes o las Y van aumentando y las X o abscisas disminuyen o viceversa, es decir, las Y o imágenes disminuyen y las X o abscisas aumentan.
Te dejo la representación para que entiendas mejor:

En esta imagen se aprecia perfectamente uno de los casos de la variación inversa que sería los valores de X aumentan y los de Y disminuyen.

Ahora un pequeño ejemplo solo para dejarlo más claro:

Una casa fue construida por 5 albañiles en 9 días ¿En cuanto tiempo se construirá la misma casa, pero con 9 albañiles?

Ponemos los datos en la regla de tres:

5 albañiles/9 albañiles=9 días/x días pero como esta variación es indirecta, ya que cuando aumenta los albañiles los días disminuyen entonces la regla de tres se pone inversa en los días:

5 albañiles/9 albañiles=x días/9 días

Despejamos la incógnita y nos queda:

x días = 5 albañiles.9 días / 9 albañiles

Y finalizamos con un resultado de 5 días y de esta manera comprobamos que si es una variación inversa puesto que disminuyo los días aumentando la gente que trabajara en la construcción. 

Ejercicios aquí

• Funciones (conceptos relacionados con dominio y campo de valores, evaluación de funciones, funciones como modelos, gráficas y sus transformaciones, función lineal, y función cuadrática).

Este tema parece largo fastidioso y difícil pero déjame decirte que no lo es ya que todo lo que te piden en el paréntesis lo hemos visto, ya que una función es una expresión algebraica de una o más variables que se llama también ecuación y vimos de dos tipos de la linea recta y cuadrática que es la misma cosa que una función lineal y cuadrática. 

Lo único que si te pudiera detallar es que una gráfica de cualquier función  nunca pero nunca tendrá mas que una sola imagen en cada abscisa es más te lo pongo en el siguiente ejemplo:

Esta imagen presenta diferentes tipos de representaciones de funciones lineales y si ves ninguna tiene dos imágenes en una abscisa.

Todas las rectas verticales de esta imagen son solo ecuaciones de diferentes resultados para la imagen, estas lineas NO SON FUNCIONES, PUEDEN SER ECUACIONES PERO NO FUNCIONES.

De todos modos te explico no te explico todo sobre las funciones ya que existen diferentes tipos y la verdad en el examen no vendrán mas que de una sola variables, de tipo cuadrática o lineal, que son la mayoría de evaluar la función para encontrar la ecuación de la función, pero te dejo este link por si piensas que me falta más cosas que te puedan ser útiles.

Ejercicios (En este link viene desde lo que podría representar una función en una situación de la vida real, las rectas que pueden representar una función, ejercicios de evaluación de funciones y más cosas no es necesario que lo contestes todo, pero te lo dejo porque si hay algunas cosas que te podrían venir sobre todo después del ejercicio 9).

Pues finalizamos álgebra, no es tan larga y difícil, pero si estudiala ya que te lo aseguro al 100% que si vendrán muchos ejercicios de estos temas. Recuerda el tema de variación directa y inversa si estudia mucho ya que los ejercicios del examen si pueden engañarte.